当心曲柄
2009字
2021-03-25 09:42
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火星译客

四个不可能的“古代问题”(构造每个规则的多边形并平方圆)是数学曲柄的猫薄荷。 每位收到电子邮件的数学家都收到了来自crackpots的来信,自称已解决了这些问题。 他们是如此基础,以至于非数学家无法抗拒。 不幸的是,有些人认为他们已经成功了,并且拒绝听取他们说错了的论点。

当然,数学在绘制骗子和骗子方面不是唯一的。 物理学家拥有永动机的发明家,历史学家拥有大屠杀的否认者,医师有顺势疗法的支持者,公共卫生官员有抗疫苗剂,等等。 我们有数百年的炼金术士,平坦的地球人,寻求长生不老药的人,ESP的拥护者以及阴谋理论家,他们怀疑月球着陆并质疑约翰·F·肯尼迪被暗杀。

只要问题本身存在,圆形平方器和角三等分就存在了。 古希腊人使用τετραγωνιζειν(四字ze蛋白)一词来形容“试图用正交来占据自己”,以描述那些试图解决圆平方问题的人。

奥古斯都·德·摩根(Augustus De Morgan,1806–1871年)在《雅典报》(Athenæum)杂志上撰写了许多专栏,这些专栏是由他的妻子在死后作为“悖论预算”出版的。 这些专栏的主题? 悖论者。 德·摩根(De Morgan)解释说:“我使用[paradox]这个词是从旧的意义上讲:一个悖论是在主题,方法或结论上与一般观点不同的东西。” 对于De Morgan而言,悖论不一定是贬义词,实际上,他将Galileo和Copernicus悖论者称为“悖论”。 但是,他对矛盾的人何时错了(当他们是曲柄时)特别感兴趣。

鉴于他的数学背景,De Morgan撰写了大量有关数学曲柄的文章。 他为影响到这些误导爱好者的所谓疾病创造了一个术语:“ morbuscyclometricus”(“圆方眼疾病”)。 他写了,

引诱人们解决这个问题的感觉是,在浪漫史中,骑士无法穿越一个属于巨人或附魔的城堡……一旦病毒进入大脑,受害者就会像火焰一样绕过火焰。 蛾 首先是一种方式,然后是另一种方式,从他结束的地方开始,到他开始的地方结束。

科学意义上的“曲柄”一词的首次使用可能是在1906年的《自然》杂志上。 审阅者淡化了您会弯下腰的曲柄的概念:

曲柄被定义为无法转弯的人。 这些人(平地机,圆形方形器和三叉戟)全都是曲柄。 无论如何,我们从未成功说服其中一位他错了。 通常不接受的公理,定义和技术术语。 无论他们是否使用术语,有时显然是在同一个三段论中以两种不同的意义使用术语,都不可能确切地找到它们的含义。 (原始括号)

这个名词在二十世纪中叶就已经确立了。 诺贝尔奖获得者约翰·纳什(John Nash Jr.,1928年-2015年)是受欢迎的书籍和电影《美丽的心灵》的主题,在1955年1月给国家安全局的一封信中使用了该术语。 纳什(Nash)跟进了他写的一封信,他在信中提出了一种加密解密设备。 第一个字母没有得到答复。 他的回信向他们保证:“我希望我的笔迹等不会给人以我只是个曲柄或圆角正方形的印象。”

Excerpt from a January 1955 letter from John Nash to the NSA.

1931年,耶利米·卡拉汉(Jeremiah J. Callahan)牧师成为宾夕法尼亚州杜肯大学(Duquesne University)的第五任校长,他声称自己可以仅使用罗盘和直尺将角度三等分,几乎引起了轰动。 (他还出版了一本有争议的书,名为《欧几里得或爱因斯坦:并行理论的证明和对元几何学的批判》,据信他证明了欧几里得的平行假设-这是数学曲柄的最爱,这是另一不可能完成的任务,并抨击爱因斯坦的理论 但是,卡拉汉(Callahan)拒绝分享他的三分法技术,他说他想等到获得版权为止。 据推测,他认为证据如此宝贵,以至于他不敢分享它,以免其他人为它辩护。

全国各地广泛报道了他的三叉戟新闻,包括《时代》杂志上的公告。 匹兹堡出版社引用了数学家埃里克·邓波(Eric Temple Bell,1883-1960年)的观点,他正确地指出,这个问题在1837年被证明是不可能的。有人引用卡拉汉的话说:“思考自己喜欢的东西是他的特权。 就像许多其他问题都无法解决一样,这个问题也是如此。 找到了解决方案。”

最终,卡拉汉分享了他所谓的证明。 他没有将任何角度均等,而是给出了使角度增加三倍的复杂方法。 换句话说,他以一个角度∠BDC开始,并构造了一个角度∠BDE,使得∠BDC=⅓∠BDE。

仔细阅读数学曲柄的著作,我们会发现许多不同的,创造性地不正确的方法,这些方法将角度三等分并平方。 对于某些经过数学训练的读者来说,某些证明中的缺陷会立即显而易见,例如卡拉汉的三重角度。 其他证明很难解开,通常是因为作者提出了复杂的符号,图表和术语。 同样,有时不正确的技术会产生很好的近似值。 令人信服的图表很容易使人迷惑。

下图显示了公共角度三等分参数。 绘制一个圆,其中心位于该角度的顶点。 绘制由角度确定的和 弦。 可以使用指南针和直尺将线段一分为三,从而将其和 弦三等分。 然后从角度的顶点到三等分点绘制线段。 如果只有角三分法就这么简单! 正如我们在图中看到的,如果角度很小(甚至不是那么小),则该过程看起来是准确的(虚线是最受欢迎的部分)。 但是,随着角度变大,将弦三等分并不会将角度等分。

Illustration showing that trisecting a chord does not trisect the angle.

许多圆形平方器都专注于找到π的“真实”值。 在候选者中有3或3.1或3.2或22/7或√10,依此类推。 通过错误的数学,具有欺骗性的图形和近似值,他们可以获得可以用指南针和直尺构造的π的有理或某些非理性值。

其他人则以一个例子作为证明。 可以将某些角度三等分-45º,90º,180º等。 因此,一些曲柄提出了这些结构,作为它们可以解决普遍问题的证据。

不幸的是,这些曲柄中的许多曲柄并没有很好地理解逻辑推理或数学证明技术-它们无法理解三段论,乞求问题,无法给出适当的还原性荒谬论据,等等。 他们的解决方案通常冗长而费解,使用了非标准的术语和符号,并充满了数学错误。

在18世纪,在没有任何问题被证明不可能之前,错误的证据充斥了法国皇家科学院。 他们在1741年至1775年期间收到了大约150条关于绕圈的文章。即使没有严格的证据,该学院的成员们也认为问题是不可能的。 早在1701年,他们就写道:“如果几何学家敢于没有绝对的示范就宣布,并且对最强的概率感到满意,那么他们很久以前就会做出决定,只有一个声音说圆的正交是不可能的。”

A mathematician seated at a table, working on mathematical equations, from a portfolio of prints of the Imperial Gallery of Paintings in Vienna, by Anton Joseph von Prenner, 1728. The Metropolitan Museum of Art, Harris Brisbane Dick Fund, 1953.

1740年,路易斯·卡斯特(Louis Castel,1688–1757年)写道:“不是著名的几何图形,而是真正的几何图形来求圆的平方:他们对此了解得太多了。 半几何人几乎不了解欧几里得。” 实际上,该学院的成员对被洪水淹没的做法实在感到厌倦,以至于在1775年通过一项决议,不接受解决圆方,角三等分或立方倍的问题的解决方案。 (他们还决定不接受永动机的提议。)

数学物理学家约翰·贝兹(John Baez,1961年-)提出了一个“ crackpot指数”,旨在提供“一种对潜在的革命性物理学贡献进行评级的简单方法”。 个人以-5分开始。 然后,Baez列出了一个裂纹锅的37个特征。 每次满足标准时,都会将规定数量的点添加到索引中。

数学家克里斯·考德威尔(Chris Caldwell)受贝兹(Baez)的启发,设计了一个数学版本。 考德威尔(Caldwell)列表中的一些示例(经过精心编辑)是

  • 所有大写字母的每个单词1分;
  • 每个明显虚假,逻辑上不一致或广为人知的虚假陈述,应获得5分;
  • 尽管进行了认真的纠正,但仍坚持每项声明10分;
  • 不知道(或不使用)标准数学符号的10分;
  • 表示害怕您的想法会被窃取10分;
  • 在未正确定义的情况下,您发明或使用的每个新术语将获得10分;
  • 指出您的想法具有重大的财务,理论或精神价值的10分;
  • 通过说您从事该工作已有多长时间来开始描述您的工作,需要10分;
  • 每次与已建立的专家进行有利的比较,将获得10分;
  • 引人入胜但无关紧要的结果获得10分;
  • 以自己的名字命名的20分;
  • 不知道如何或在何处提交主要发现以发表的得分为30分;
  • 30 points for confusing examples or heuristics with mathematical proof;
  • 声称有重要结果的“证明”,却不知道成熟的数学家在这个问题上所做的事情,得到40分。

Underwood Dudley(1937–)是De Morgan的现代继承人。 他花了很多年收集有关数学曲柄的故事,并写了几本幽默的书和文章来展示他遇到过的曲柄。

开个玩笑,达德利取了1832年至1879年圆角平方器提出的π值(很多来自德摩根的书),并为其拟合了一条回归线。 他得出结论,π根据函数0.0000056060t + 3.14281进行了更改,其中t是ad年。 他得出结论说,公元前219年11月10日晚上10:54,π是π。

Cover images of Underwood Dudley's Mathematical Cranks (1992) and The Trisectors (1994).

在多年研究数学曲柄之后,达德利意识到它们符合模式。 在他的《三等分》一书中,他介绍了典型的角三等分的以下特征(大概是圆角正方形适合类似的模具):

1.他们是男性

2.他们很老,经常退休。

3.他们不了解数学上不可能实现的意义。

4.他们的数学背景很小。 它很可能以高中几何学结尾。

5.他们认为,三分法是一个需要解决的重要问题,他们的工作将获得丰厚的金钱或声誉回报。

6.他们的证明总是伴随着密集,复杂的数字。

7.通常不可能说服他们自己的错误。

   1.他们是多产且执着的通讯员,他们将占用您所花的尽

 可能多的时间


 

达德利(Dudley)通过写道:“现在,当您看到三叉戟出现时,您会知道三叉戟吗? 而且您知道该怎么办吗? 这是一个提示:您的工作涉及您的双腿。 不,你不要踢他。”

Du,达德利没有接受他的建议。 在1990年代,他被他在《数学曲柄》一书中提到的个人之一-威廉·迪尔沃思(William Dilworth)起诉。 威斯康星州联邦地方法院将案件撤消,但迪尔沃思(Dilworth)提出上诉。 第七巡回上诉法院裁定达德利。 迪尔沃思随后在威斯康星州法院起诉达德利。 迪尔沃思最终输了,不得不为辩护人的法律费用支付7,000美元。 
Du, dá dé lì méiyǒu jiēshòu tā de jiànyì. Zài 1990 niándài, tā bè

摘自《不可能的故事:大卫·里奇森(David S. Richeson)在2000年寻求解决古代数学问题的探索》。 版权所有©2019普林斯顿大学出版社。 经许可转载。

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