如何计算风筝与气球的弦角
1630字
2021-02-20 11:04
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火星译客

我正在阅读兰德尔·芒罗(Randall Munroe)的书《如何:常见现实问题的荒谬科学建议》 。我想告诉你这本书真的很棒( xkcd漫画的创建者Randall Munroe的一切也是如此)。这本书的全部思想是去使用一些疯狂的思想来解决大多数常见的问题。第一种是着重介绍如何过河。他给你很多选择。您可以改变河道,甚至蒸发掉河中的所有水(这两个想法都很愚蠢又有趣)。另一种选择是使用风筝过河。这是有趣的部分-门罗指出风筝和气球都可以在河上延伸。随着风速的增加,风筝在天空中变得更高。但是,随着风的增加,气球变得越来越低。

因此,在一定的风速下,风筝和气球将具有相同角度的细绳。哦!我要计算这个。那会很好玩。

让我们从气球开始。如果您有一个充满氦气的气球并且没有风,它将漂浮在天空中,并且弦将完全垂直。只有三个力作用在气球上。向下的重力取决于物体的质量(m)和重力场(g = 9.8 N / kg)。由于气球置换了空气,因此其浮力等于被置换的空气的重量(阿基米德原理)。如果气球仅具有这两个力,则净力很可能会向上并且气球会加速离开。再见气球。

当然,您可能想保留那个气球。这就是为什么要在其上绑上绳子的原因。该弦施加一定程度的向下拉力(T),以使净力等于零。净力为零时,气球处于平衡状态并保持静止,因此您可以欣赏自己的反重力气球。这是代表这些力的图表。

插图:Rhett Allain

仅将这些力的垂直分量相加(让垂直方向为y方向),就可以将其写为以下总和。

插图:Rhett Allain

我们已经有了一个引力(m * g)的表达式,张力将是使总力为零(约束力)所需的任何值。因此,如果我们对来自空中的力(浮力)有一个表达,那么我们可以将一些东西放在一起。由于该浮力是排出的空气的重量,因此需要气球的体积(V)和空气的密度(ρ)。假设气球是半径为R的球体,则浮力为:

插图:Rhett Allain

好的,现在让我们加风。假设风以一定速度(v)在水平方向吹。这意味着将在气球上施加另一个力,即空气阻力。我们可以将这种空气阻力建模为与风相同方向的力,其大小取决于风速,气球的横截面积(A),气球的形状(C)和密度空气(ρ)。如果您是风(是的,您就是风),气球的横截面看起来像是半径为R的圆。这使面积等于πR2(圆的面积)。

插图:Rhett Allain

但是现在我们有一个问题。由于有来自风的水平力,因此必须有其他水平力,以使该方向的净力为零。是的,这种额外的水平力来自弦线以一定角度拉动时产生的力。这是一个新图。有点复杂。

插图:Rhett Allain

请注意,我添加了风-只是为了获得有趣的视觉效果。我用变量θ标记了弦角。如果球囊仍处于平衡状态,则在水平(x)和垂直(y)方向上的合力必须为零。琴弦中的张力在x和y方向上都具有分力,因此以下两个方程式是正确的。

插图:Rhett Allain

由于张力是约束力,因此没有直接的方法来计算它。没关系。我可以在y力方程中求解T,然后代入x力方程。问题解决了。现在,我可以得到气球倾斜角的表达式。请记住,阻力既取决于气球的半径,也取决于风的速度,但是浮力也取决于半径(因为体积)。把所有这些东西放进去,我会得到一个看起来疯狂的表情(但并不像看起来那样糟糕)。

插图:Rhett Allain

不用担心,我将针对不同的风速绘制气球的倾斜角度,但首先让我们看一下风筝。风筝不是气球-只是要弄清楚。但是,它仍然可以在空中飞行并且有绳子。就像气球一样,风筝也与移动的空气(也称为“风”)相互作用。但是,对于风筝,空气会向后推(拖动),也会向上推(提升)。对风筝的升力和阻力进行建模的一种方法是使用升力/阻力比(这是实物)

这并不神秘。升力/阻力比实际上就是升力除以阻力。每个产生升力的飞行物体也会产生阻力。它们都是由于与空气的相同相互作用。因此,如果您飞得更快(或者风在固定的风筝上更快),则升力和阻力都会增加。是的,此升/降比取决于飞行物体的形状和大小以及相对于空气运动的方向(称为迎角)。但是对于这只风筝,我将要计算阻力,然后乘以CL(升力系数)以获得升力。

我认为我们已经准备好绘制图表。

插图:Rhett Allain

什么?看起来就像气球的力量吗?好的,看起来确实相似,但是有很大的不同。对于气球来说,有向上推的浮力,而这只是一个值。风速增加时它不会改变。对于风筝来说,向上的推力就是升力,它确实取决于风速。所以不一样。只要考虑零风的情况。阻力为零,这意味着升力为零。风筝不会飞-它只是掉下来而难过。

同样,我得到了两个可以用来消除T未知值的力方程。这样,我就得到了风筝角度(θk)的以下表达式。实际上,我在很多东西上都标了下标k,这样您就可以看到它与气球的值不同。哦,两个物体的空气密度仍然相同。

插图:Rhett Allain

好的,我要绘制风速不同时气球和风筝的飞行角度。但是在我这样做之前,让我们考虑一下放风筝的最低速度。为了举起地面,举升力必须至少等于风筝的重量。然后,我可以针对风速解决此问题。低于此水平,您将不会放风筝。

插图:Rhett Allain

现在,我可以为风筝和气球的所有参数选择一些值。由此,我将计算最小速度并绘制气球和风筝的弦角。然后,我只是增加速度并查看漂亮的图形。我将对风筝的质量和升阻比等做出一些粗略的猜测。但是不用担心。如果您不喜欢我的选择,则可以在下面的代码中更改值。这就是你得到的。

是的,那是实际的Python代码。如果单击铅笔图标,则可以对其进行编辑并再次运行。但是您应该注意到这两条曲线(风筝和气球)的一些重要特征。

  • 随着风速的增加,风筝的角度会变大,气球的风筝会变小。这就是我们的期望。
  • 对于某些风速值,风筝和气球以相同的角度飞行(对于我的值,风速约为2.19 m / s)。
  • 这只风筝永远不会在头顶直行(角度为90度)。相反,它达到约61度的最大角度。

如果更改所有值(气球和风筝的质量和风阻系数),您将获得不同的风速,它们具有相同的角度。哦,还有最后一件事。的确,这篇文章中有很多数学。但是情况可能会更糟。在所有这些计算中,我假设弦线没有质量。试想一下,使用更逼真的字符串会带来多大的乐趣。我会将其留给您作为家庭作业。

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